Algebra de conjuntos
El álgebra de conjuntos es un área de estudio, dentro de las matemáticas y la lógica, enfocada en las operaciones que pueden efectuarse entre los conjuntos.
Leyes del álgebra de conjuntos
Las leyes del álgebra de conjuntos son las siguientes:
- Idempotencia: La unión o intersección de un conjunto consigo mismo da como resultado el mismo conjunto:
XUX=X
X∩X=X
- Conmutativa: El orden de los factores no altera el resultado al hallar la unión o intersección de conjuntos:
XUY=XUY
X∩Y=X∩Y
- Distributiva: La unión de un conjunto X, con la intersección de otros dos conjuntos Y y Z, es igual a la intersección de la unión de X e Y, con la unión de X y Z. Es decir:
XU(Y∩Z)=(XUY)∩(XUZ)
Además, se cumple lo mismo si invertimos el orden de las operaciones:
X∩(YUZ)=(X∩Y)U(X∩Z)
- Asociativa: Los términos de una operación de unión o intersección de varios conjuntos pueden agruparse de forma indistinta, obteniendo siempre el mismo resultado:
XU(XUY)=(XUY)UZ
X∩(X∩Y)=(X∩Y)∩Z
- Ley de Morgan: El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos, y el complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos.
(XUY)C=XC∩YC
(X∩Y)C=XCUYC
- Ley de diferencia: La diferencia de un conjunto respecto a otro es igual a la intersección del primero con el complemento del segundo:
(X-Y)=X∩YC
- Leyes del complemento:
- La unión de un conjunto con su complemento da igual al conjunto universal. XUXC=U
- La intersección de un conjunto con su complemento es igual al conjunto nulo o vacío. X∩XC=∅
- El complemento del complemento de un conjunto X es igual al conjunto X. (XC)C=X
- El complemento del conjunto universal es igual al conjunto nulo o vacío. XC=∅
- El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universal. ∅C=U
- Leyes de la absorción:
- XU(X∩Y)=X
- X∩(XUY)=X
- XU(XC∩Y)=XUY
- X∩(XCUY)=X∩Y
Diagramas de Venn
¿Que es el diagrama de Venn?
Un diagrama de Venn muestra conjuntos de elementos y sus interacciones por medio de líneas cerradas (círculos), siendo la exterior (cuadrado) la que representa al conjunto universal (U).
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